Chorwat urodził się 26. maja 1981 roku w Zagrzebiu i niemal całą karierę spędził w miejscowym Dinamie. Piłkarz mierzy 195 centymetrów i gra w środku defensywy.

W latach 2000-2009 Drpić występował w Dinamie Zagrzeb, w barwach którego rozegrał 201 spotkań i zdobył 13 bramek. W stolicy Chorwacji występował razem z obecnym kapitanem warszawskiej Legii, Ivicą Vrdoljakiem. Od sezonu 2008/2009 Dino Drpić jest zawodnikiem niemieckiego Karlsruher SC. Razem z tym zespołem uczestniczył w rozgrywkach zarówno 1., jak i 2. Bundesligi. Chorwat ma na swoim koncie 33 mecze.

Dino Drpić występował również w juniorskich zespołach reprezentacji Chorwacji i zanotował jedno spotkanie w dorosłej drużynie. Jego debiut miał miejsce 16. października 2007 roku w towarzyskim spotkaniu przeciwko Słowacji.

O przyszłości chorwackiego stopera zadecyduje trener Maciej Skorża ze sztabem szkoleniowym.